近日，国际权威学术期刊《自然･光子学》以长文形式刊发了上海交通大学物理与天文学院金贤敏团队的最新成果。研究团队首次在人工分形网络上，实验实现了量子输运。

相关论文以《分形网络中的量子输运》（Quantum transport in fractal networks）为题发表，徐晓芸博士为第一作者，金贤敏教授为通讯作者。

图 | 相关论文（来源：Nature Photonics）

分形，存在于你我身边

作为一个几何术语，“分形（fractal）”通常指“一个粗糙或零碎的几何形状可被分成几个部分，每一部分都是整体缩小后的相似形状”，即具备自相似的性质。

此术语最早由耶鲁大学的Benoit B. Mandelbrot教授提出，用于描述具有相同特征的结构。曼德布洛特集合便是以其名字命名的一种分形。下图展示了曼德布洛特集合不断放大的动态过程，可以看到就算局部被放大，其外形仍和放大前相似。

图 | 曼德布洛特集合（来源：维基百科）

事实上，人与自然是最好的“分形大师”。在时间尺度上，心跳曲线、股票涨跌曲线等都是分形现象；在空间尺度上，雪花、宝塔花菜等都是天然分形。

图 | 宝塔花菜（来源：Pixabay）

学过欧几里得几何就知道，直线的维度为1，平面的维度为2，立方体的维度为3。然而，分形的维度是一个非整数，它既非一维的、也非二维的。

分形的维度可根据豪斯多夫维数的定义计算得到。豪斯多夫维数由拓扑学开创者、犹太数学家费利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff ）于1918年引入。

通俗地说，假如以1：N的比例缩小某个分形，而缩小后的M个图形仍能组成原来的图形。那么该分形的豪斯道夫维数等于lg(M)/lg(N)。以谢尔宾斯三角形为例，当按照1：2的比例将其缩小后，3个缩小后的图形仍可拼成原来的三角形，因此其豪斯道夫维数为lg(3)/lg(2)≈1.58

图 | 谢尔宾斯基三角形

非整数维空间：分形中的反常量子输运

那么，当跳出常规整数维空间，去探讨非整数维空间中的物理现象时，会得怎样的结果？金贤敏团队与来自乌得勒支大学的Cristiane Smith教授共同合作，揭示了分形中的反常量子输运。

一直以来，作为典型的非整数维结构，分形成为很多研究的首要选择。但是，针对分形空间中量子输运的实验研究，仍然寥寥无几。

主要原因在于，相关实验技术手段的限制，导致分形结构很难被精确制备。而随着分子组装、原子操控等技术的发展，分形结构的精密制备成为可能。

不过，使用上述手段构建的分形系统，依然难以研究一些动态物理现象比如量子输运。

金贤敏研究团队拥有自主设计的飞秒激光直写系统，可用于制备高精度、大规模的三维光子晶格结构。这使得人工分形光子晶格的精确构建不再是难题。
此外，所制备的光子晶格不仅体积紧凑、可快速成型，而且性质稳定、损耗低，长度也能被精确定义，因此非常适合量子输运的实验研究。依托飞秒激光直写技术，研究人员成功将具有分形几何样貌的光子晶格写入光子芯片，并基于光子芯片，以量子行走为模型，对分形中的量子输运过程加以探索。

图 | 从分形几何到实现分形光子晶格中的量子行走（来源：Nature Photonics）

光子在晶格中的演化过程本身便是一个连续时间量子行走过程。而演化时间由晶格长度决定。因此，只要制备出长度逐步递增的光子晶格，即可顺利捕捉到光子在不同时刻的演化结果，进而就能揭开量子输运的动力学演化过程。

图 | 光子在不同长度的晶格中的演化结果（来源：论文作者）

基于光子在不同时刻的演化结果，作者进一步计算了表征量子输运性质的均方位移、波利亚数等参量。结果发现：相比经典输运，均方位移、波利亚数都表现出明显不同的特征。这表明该输运过程具有非经典性。

（来源：论文作者）

另外，相比于整数维空间中的量子输运，均方位移与演化时间并没有呈现出MSD～t²的二次方关系，而是由豪斯多夫维数决定（即MSD～t^d_f）。其中MSD代表均方位移，代表d_f豪斯多夫维数。

（来源：Nature Photonics）

除了实验探索，研究人员同时开展了仿真研究。根据仿真结果，他们发现：上述现象也出现在了包含几千格点的大规模分形晶格中，而且不依赖于光子的入射位置。更关键的是，这一反常现象和国外学者提出的理论非常吻合。

潜在的研究价值和意义

事实上，三维集成光子芯片已被成功应用于量子计算和量子模拟领域，如空间二维量子行走和量子快速到达算法的演示、玻色子采样问题的演示等。基于光子芯片的三维集成和大规模优势，复杂结构（如分形 ）才能够被构建，一些在其他平台难以开展的量子计算或量子模拟研究才得以进行。得益于人工分形结构的成功制备，本项研究首次从实验上揭示了分形空间中的量子输运规律，并为开展分形空间中的量子搜寻奠定了基础。

另一方面，量子力学是否在生物系统中发挥作用的问题长期以来受到广泛关注和讨论。2013年，一篇发表在《自然·物理学》的综述对可能存在量子效应的生物现象（如光合作用中的能量传输、鸟类的磁感应）进行了总结回顾。

如前文所述，自然界存在许多分形或类分形生物系统，如人体内部的血管网络，脑神经网络，又或者是宝塔花菜等植物分形。众所周知，在-这些具备分形特征的生物系统中，时刻都在发生着能量传输和信息传输。但是，量子力学是否在其中发挥作用仍然有待回答。

目前，已有直接的科学证据表明量子相干效应直接影响光合光捕获（photosynthetic light-harvesting）的能量传输效率和稳定性，但该结论尚未推广至整个植物系统中，而分形特征往往体现在系统整体上。

（来源：论文作者）

此外，二十世纪九十年代中期，科学家Stuart Hameroff和后来的诺奖得主Roger Penrose）声称：意识的产生遵循量子力学规则。他们认为，构成脑神经元的微管蛋白的共同活动是意识构建的关键，而量子相干作用影响着微观蛋白的活动。并且，意识构建的过程不仅只发生在单个脑神经元内部，而且可能自下而上地遍布于整个神经网络中。

不论是植物内部的能量传输，还是人脑神经网络中的意识构建，要在这些要在复杂的、甚至可能充满干扰的大尺度分形生物系统中实现对量子现象的直接研究和探测都面临着诸多的挑战和困难。

（来源：论文作者）

本研究的目的也并非在于直接回答意识是否与量子力学有关，而是回归到量子力学和分形本身，尝试通过现有技术，人为构建一种可触及的分形结构，并基于此开展一些分形空间中的基础量子研究。

（来源：Nature Photonics）

假如未来真的可实现对脑神经网络等复杂分形系统的模拟或直接探测，那么就分形生物系统中是否存在量子效应而言，当下的研究所得出的结论也许能提供一些判断依据。

上海交大在各方大力支持和努力下，成立了集成量子信息技术研究中心（IQIT），依托上海交通大学物理与天文学院，联合电子信息与电气工程学院，以及区域光纤通信网与新型光通信系统国家重点实验室，致力于在光子集成与量子信息技术领域打造跨学科研究高地、培养顶尖人才、引领科技创新、推动产业发展。中心团队近年来代表性研究成果包括：制备了世界最大规模三维集成光量子计算集成芯片，并演示了真正空间二维量子行走，发表在Science子刊《科学-进展》上，并被评为2018年十大光学产业技术；制备出了世界首个轨道角动量波导光子芯片；基于三维光子集成芯片实现了快速到达量子加速算法，发表在Nature 子刊《自然-光子学》上，并入选2018 年中国光学十大进展；首次实验制备未来可用于高维量子计算的轨道角动量光子芯片；实现了结合光子概念、非冯诺依曼架构和光子芯片的可扩展专用光子计算机，发表在Science子刊《科学-进展》上；以及在量子拓扑光子学领域取得了一系列前沿进展，提出的拓扑保护量子的新机制被Science撰文报道。

研究团队感谢上海市科委重大项目和国家自然科学基金重点项目的雪中送炭，感谢中组部青年千人计划、国家重点研发计划、上海市教委的大力支持。上海交通大学物理与天文学院集成量子信息技术研究中心（IQIT）助理研究员徐晓芸为论文第一作者，金贤敏教授和乌得勒支大学Cristiane Smith教授为论文通讯作者。

参考文献

Nature Photonics (2021) DOI: 10.1038/s41566-021-00845-4

论文链接：https://www.nature.com/articles/s41566-021-00845-4